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Comprendre les maths!

Cours de troisième

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Comme nous l'avons vu en quatrième un nombre n élévé à une puissance p est le résultat du produit de n par n par n par n... p fois et la racine carrée d'un nombre n est le nombre positif y tel que y×y=n.

Dans ce cours nous allons voir comment calculer une puissance lorsque l'exposant est négatif ou nul, et quelques formules qui permettent d'accélérer les calculs dans lesquels apparaissent des puissances et des racines carrées.



As-tu compris les racines carrées?

4 =




Les puissances permettent de manipuler plus facilement des nombres très grands ou très petits (avec l'écriture scientifique), par exemple en astronomie et en chimie.

Les racines carrées permettent d'utiliser le théorème de Pythagore et de résoudre des équations du second degré.


Puissance d'exposant négatif ou nul

Exposant négatif

Nous avons vu la notation an.
Si n est positif on calcule an en calculant a×a×a×...×a : n fois.
Par exemple 23=2×2×2=8 et (-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81 (à ne pas confondre avec -34=-3×3×3×3=-81).

Mais que se passe t-il si n est négatif?
A quoi est égal 2-3?
Pour comprendre les puissances négatives, commence par compléter le tableau ci-dessous.

23 22 21



Conclusion
Pour calculer un nombre avec une puissance négative on calcule l'inverse de ce nombre avec une puissance positive.

Exemples



As-tu compris?

Complète avec un nombre décimal.

10-3 =



Exposant nul

Un nombre à la puissance 0 vaut toujours 1, sauf zéro à la puissance zéro qui n'existe pas. Par exemple 70=1.


Calcul avec des puissances

Rappel

En quatrième nous avons vu que si x, a et b sont trois nombres on a toujours :

Et si b≠0 :

Puissance de puissance

Une autre formule utile est la suivante :

En effet on a par exemple :

Puissance d'un produit ou d'un quotient

Voyons enfin deux dernières formules :

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En effet on a par exemple:

En effet on a par exemple:



Calculs avec des racines carrées

Les formules ci-dessous permettent de faire des calculs avec des racines carrées.

Formules

1. Si a est un nombre positif, on a toujours :

Par exemple .

2. On peut vérifier avec une calculatrice que 6 2 , 45 et 2 × 3 1 , 41 × 1 , 73 2 , 45 .
Si a et b sont deux nombres positifs, on a toujours .

3. Si a et b sont deux nombres positifs (b non nul), on a toujours (en savoir plus, démonstrations).



Addition et soustraction de racines carrées

Attention 3 + 4 3 , 7 mais 7 2 , 6 .
On ne peut pas additionner des racines carrées!

Cependant dans certains cas il est possible d'additionner des racines carrées en transformant leurs écritures afin de faire apparaître la racine d'un même nombre. C'est ce que nous allons voir ci-dessous.

Exemple



Bebj Adulte Entrainement Superga Baby blanc 2750 Classic 901 Mixte As-tu compris?

Écris avec une seule racine carrée.

 



Simplification de racine carrée

En utilisant les mêmes règles de calcul voici un exemple un peu plus long.



Pour s'entraîner

Écris sous la forme le nombre .

Combien trouves-tu pour a et b?

a= b =



Remarque

La racine carrée d'un nombre positif c'est ce nombre à la puissance 1 2 : .
Par exemple 640,5=8.



Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout.
Maintenant, essaie de faire les exercices!




>>> Développement d'expressions littérales >>>


Les racines et puissances en troisième

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